O acordo verbal não tem como provar perante a justiça, por isso ele não tem validade para comprovação de seus direitos. Tudo que é verbal é complicado de provar e por isso que é necessário a assinatura de um termo de acordo.
Pode contratar pela internet sim! E também é muito seguro! Mas eu sugiro que você confira os dados desse advogado e assegure que ele é quem realmente diz, pois há muitos golpes na internet. Veja o local do escritório, ligue na OAB (Ordem dos Advogados), jogue o nome dele no Google e converse, pelo menos, por vídeo, para ter uma segurança maior antes de enviar seus dados.
Pode sim! É necessário consultar as condições para isso.
 O divórcio extrajudicial é finalizado em 2 semanas. O divórcio consensual, pela via judicial, é finalizado em 5 meses Agora, o divórcio litigioso é o que mais demora, geralmente é de 2 a 5 anos. Mas esses prazos podem variar muito de acordo com o grau de complexidade de um processo. 
Sim, a lei autoriza que você continue usando o sobrenome. Mas, caso um deles não aceite, é necessário que este justifique um motivo justo para tal negativa.